No he tenido tiempo de continuar la serie de álgebra lineal estas semanas. Sin embargo, el anuncio de OpenAI sobre las ecuaciones de Navier–Stokes me dio una buena razón para volver a una idea que ya apareció en las entradas anteriores: un vector puede describir movimiento.

En la introducción a los vectores representamos magnitud y dirección con una flecha. Después usamos matrices para transformar el espacio. Ahora imaginemos algo distinto: colocar una flecha en cada punto del agua y permitir que todas cambien con el tiempo.

Ese conjunto de flechas es un campo de velocidades. Las ecuaciones de Navier–Stokes describen cómo evoluciona.

Para acompañar la explicación preparé un laboratorio. Puedes mover el cursor, crear corrientes y cambiar sus parámetros. La tinta luminosa permite observar algo que normalmente no vemos: cómo el movimiento de una región transporta y modifica lo que tiene alrededor.

Primero, mirar el movimiento

Imagina una gota de tinta dentro de un vaso de agua. Al mover una cuchara, la tinta se estira, forma curvas y se reparte por el recipiente. Su dibujo revela el movimiento del agua.

En esta demostración ocurre algo parecido. El cyan y el violeta representan dos tintas transportadas por un campo de velocidades. El brillo es una elección visual: no representa temperatura, energía ni presión.

Mueve el cursor sobre la tinta o arrastra un dedo. La fuerza que aplicas cambia la velocidad local; el fluido transporta después esa perturbación. Usa Pausar para detener la animación y Reiniciar para recuperar el remolino inicial.

Prueba primero con los valores iniciales. Cruza el remolino con un movimiento corto y observa cómo la tinta se dobla. Después aumenta la viscosidad y repite el gesto. Las diferencias de velocidad entre regiones vecinas se suavizan más rápidamente.

El laboratorio representa un flujo bidimensional estilizado, calculado en la GPU con Three.js. Incluye una corrección aproximada de presión para reducir la divergencia. Su propósito es explorar estos mecanismos; no reproduce la singularidad tridimensional del anuncio.

De una flecha a un campo

Una flecha aislada podría indicar que el agua se mueve hacia la derecha a cierta velocidad. Para describir todo el fluido necesitamos una flecha en cada posición:

u(x,t).\mathbf u(\mathbf x,t).

Aquí x\mathbf x indica dónde observamos, tt indica cuándo y u\mathbf u es la velocidad del fluido en ese lugar y momento. En tres dimensiones tiene tres componentes:

u(x,y,z,t)=(uxuyuz).\mathbf u(x,y,z,t)=\begin{pmatrix}u_x\\u_y\\u_z\end{pmatrix}.

Es importante distinguir la posición de una porción de agua de su velocidad. La posición dice dónde está; la velocidad indica hacia dónde se desplaza y qué tan rápido lo hace.

Si siguiéramos una pequeña marca dentro del agua, su trayectoria x(t)\mathbf x(t) cumpliría

dxdt=u(x(t),t).\frac{d\mathbf x}{dt}=\mathbf u(\mathbf x(t),t).

La marca avanza según la flecha que encuentra en su posición actual. Al llegar a otro lugar, puede encontrar una flecha distinta.

La segunda ley de Newton, aplicada a un fluido

Para un fluido newtoniano de densidad y viscosidad constantes, el balance de momento se escribe como

ρ(∂u∂t+(u⋅∇)u)=−∇p+μ∇2u+f.\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u\right) =-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u+\mathbf f.

El lado izquierdo es densidad por aceleración. El derecho reúne las fuerzas por unidad de volumen. Es la misma estructura de F=maF=ma, expresada para un medio continuo.

  • ρ\rho es la densidad del fluido.
  • u\mathbf u es su campo de velocidades.
  • pp es la presión.
  • μ\mu es la viscosidad dinámica.
  • f\mathbf f es la fuerza externa por unidad de volumen. Para gravedad uniforme sería ρg\rho\mathbf g.

El símbolo ∇\nabla reúne derivadas espaciales. Según cómo se utilice, permite preguntar hacia dónde crece una cantidad, si hay expansión local o cuánto difiere un valor del de sus vecinos.

La ecuación se entiende mejor al separar sus mecanismos.

Advección: el movimiento transporta movimiento

La aceleración tiene dos partes:

DuDt=∂u∂t+(u⋅∇)u.\frac{D\mathbf u}{Dt} =\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u.

La primera mide cómo cambia la velocidad en un punto fijo. La segunda aparece porque una porción de fluido se desplaza y encuentra velocidades diferentes a lo largo de su recorrido.

Imagina un río que se estrecha. Incluso si el mapa de velocidades permanece igual con el tiempo, una hoja puede acelerar al entrar en la zona estrecha. El campo no cambió en cada punto; la hoja llegó a un punto donde la corriente era más rápida.

Ese transporte se llama advección. Cuando la velocidad transportada es la propia velocidad del fluido, aparece el término no lineal (u⋅∇)u(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u.

La no linealidad permite transferir movimiento entre escalas y participa en la dinámica de los remolinos. Pero observar un remolino no basta para afirmar que un flujo es turbulento.

En el laboratorio, observa cómo una mancha abandona el lugar donde la creaste. Su desplazamiento permite visualizar la advección de tinta.

Viscosidad: suavizar diferencias entre vecinos

El término viscoso es

μ∇2u.\mu\nabla^2\mathbf u.

El laplaciano ∇2\nabla^2 compara localmente el campo con sus alrededores. Si dos capas cercanas tienen velocidades muy diferentes, la viscosidad tiende a suavizar esa diferencia mediante difusión de momento.

Por eso conviene afinar la idea de «fricción interna»: la viscosidad no es simplemente un freno uniforme. Un campo de velocidad constante tiene laplaciano cero. En ese caso, este término por sí solo no lo detiene.

En condiciones comparables, una viscosidad mayor hace que las estructuras pequeñas se suavicen con más rapidez. La miel y el agua sirven como referencia intuitiva, aunque su comportamiento completo también depende de la densidad, la escala del recipiente y las fuerzas aplicadas.

Experimento: reinicia, haz un trazo corto y observa sus detalles. Repite con viscosidad alta. Mantén iguales los demás controles para comparar un solo efecto.

Presión: coordinar el movimiento

La fuerza debida a la presión es

−∇p.-\nabla p.

El gradiente señala hacia dónde aumenta la presión; el signo negativo orienta esa fuerza hacia presiones menores. Esta fuerza contribuye a la aceleración: no determina por sí sola la dirección instantánea de la velocidad.

En un modelo incompresible, la presión cumple además una función esencial: coordina las velocidades para que el movimiento no produzca expansión o compresión local.

Fuerzas externas: la cuchara y el cursor

El término f\mathbf f representa acciones externas, como la gravedad o un empuje aplicado al fluido.

En el laboratorio, mover el cursor añade un impulso alrededor de su posición. Un movimiento corto perturba una región pequeña; un recorrido largo deja una estela. Después de ese impulso, el campo sigue evolucionando.

Hay también una fuerza ambiental suave y dos fuentes de tinta que mantienen visible la escena. Por eso, aunque no toques el panel, el sistema no queda completamente en reposo.

Conservar masa: lo que entra debe salir

La conservación de masa se expresa mediante la ecuación de continuidad:

∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0.\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0.

Para una densidad constante y distinta de cero, queda

∇⋅u=0.\nabla\cdot\mathbf u=0.

La divergencia mide el flujo neto que sale de una región infinitesimal. Si es cero, esa región no se convierte en una fuente ni en un sumidero de volumen.

Esto no prohíbe deformaciones. Una porción de fluido puede estirarse en una dirección y estrecharse en otra sin cambiar su volumen. Tampoco prohíbe remolinos: rotación y expansión son propiedades distintas del campo.

Después de transportar velocidades y aplicar fuerzas, la demo calcula la divergencia, aproxima una ecuación de presión y resta su gradiente. Esa proyección reduce la divergencia del campo resultante. Como usamos una rejilla finita y un número limitado de iteraciones, la condición se satisface de manera aproximada.

Qué significa el anuncio sobre el problema del milenio

Podemos aproximar estas ecuaciones en una computadora y aun así tener preguntas sobre sus soluciones exactas. Una simulación utiliza un número finito de celdas y pasos de tiempo; una demostración debe establecer lo que ocurre bajo las hipótesis matemáticas del problema.

El problema de existencia y suavidad del Clay Mathematics Institute pregunta, en tres dimensiones y bajo condiciones precisas, por la existencia de soluciones suaves para todo tiempo o por un contraejemplo de ruptura. Forma parte de los Problemas del Milenio, con un premio de un millón de dólares asociado a su resolución.

Una singularidad en tiempo finito, o blow-up, es una pérdida de regularidad del modelo. No significa que cualquier remolino cotidiano vaya a alcanzar velocidades infinitas ni que una animación pueda demostrar ese fenómeno.

En su anuncio del 8 de septiembre de 2026, OpenAI afirma haber obtenido una prueba analítica y una formalización en Lean de una singularidad con fuerza externa suave y energía finita, partiendo del reposo. La empresa la vincula con las variantes C y D del enunciado oficial y describe un grupo de alrededor de 10 000 agentes concurrentes.

Según ese mismo anuncio, la decisión de concentrar recursos en Navier–Stokes llegó después de un resultado sobre las ecuaciones de Euler, que omiten la viscosidad. El interés estaba en investigar si la IA podía contribuir a problemas matemáticos de frontera.

Actualización consultada: 13 de septiembre de 2026. Aquí atribuyo el resultado a sus autores. La página de Clay consultada todavía presenta el problema como activo; el anuncio no debe confundirse con una adjudicación del premio. El propio comunicado de OpenAI indica que la empresa no pretende reclamarlo.