Los vectores aparecen en casi todo lo que me interesa: matemáticas, inteligencia artificial, procesamiento de señales, gráficos por computadora y física. En todos estos campos se usa la misma estructura matemática, aunque cambia la interpretación.

En matemáticas, un vector es un objeto abstracto. En IA suele ser una lista de características, parámetros o números que representan algo. En física, además de sus componentes, tiene unidades y describe una cantidad del mundo real, como una velocidad o una fuerza.

Para seguir este texto conviene conocer aritmética, álgebra y trigonometría básica. Si necesitas repasarlas, reuní material para estudiantes de un curso de nivelación en mate.johanfr.com.

¿Qué es un vector?

En un espacio de dos dimensiones, un vector puede escribirse como

v=(v1,v2)=(v1v2)∈R2.\mathbf{v}=(v_1,v_2)= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2.

En tres dimensiones añadimos una componente:

v=(v1,v2,v3)∈R3.\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3.

Geométricamente lo representamos como una flecha que sale del origen. En la siguiente visualización, v=(3,2)\mathbf{v}=(3,2) indica un desplazamiento de tres unidades en el eje xx y dos en el eje yy. Arrastra la punta para cambiar el vector y observar sus componentes y su magnitud.

La diagonal muestra la distancia L2; el camino punteado por los ejes muestra L1. Mueve el punto v para compararlas.

Si trasladamos la flecha completa sin rotarla ni cambiar su longitud, sigue representando el mismo vector: importan su magnitud, dirección y sentido, no el punto del plano donde la dibujemos.

En IA, (3,2)(3,2) podría significar dos características de una observación, por ejemplo [horas_de_estudio, ejercicios_resueltos]. En física podría representar una velocidad (3,2) m/s(3,2)\ \mathrm{m/s}. Los números son iguales; su significado no.

Operaciones básicas

Los vectores se suman componente a componente y se multiplican por escalares:

(2,1)+(1,3)=(3,4),(2,1)+(1,3)=(3,4), 2(3,2)=(6,4).2(3,2)=(6,4).

Sumar vectores combina desplazamientos. Multiplicar por un escalar cambia su tamaño; si el escalar es negativo, también invierte su sentido.

Magnitud, norma y dirección

Antes de calcular, juega con la primera visualización: lleva la punta a (3,4)(3,4) y observa que la longitud resulta 55. Después muévela sin cambiar mucho su dirección. Las coordenadas describen cómo llegar a la punta; la magnitud mide qué tan lejos quedó; la dirección indica hacia dónde apunta.

Las palabras magnitud y norma suelen confundirse porque están relacionadas.

La norma es una función matemática que asigna un tamaño no negativo a un vector. La norma euclidiana de v=(v1,v2)\mathbf{v}=(v_1,v_2) es

∥v∥2=v12+v22.\lVert\mathbf{v}\rVert_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.

Para v=(3,4)\mathbf{v}=(3,4),

∥v∥2=32+42=5.\lVert\mathbf{v}\rVert_2=\sqrt{3^2+4^2}=5.

En tres dimensiones se aplica la misma idea:

∥(v1,v2,v3)∥2=v12+v22+v32.\lVert(v_1,v_2,v_3)\rVert_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.

Por ejemplo, ∥(2,−1,2)∥2=3\lVert(2,-1,2)\rVert_2=3.

La magnitud es el tamaño de una cantidad vectorial; normalmente se calcula con una norma. En física puede conservar unidades: si v\mathbf{v} es una velocidad en m/s\mathrm{m/s}, entonces su magnitud también está en m/s\mathrm{m/s}.

La norma euclidiana no es la única. Las dos más importantes aparecen con varios nombres:

  • Norma L1L_1, también llamada norma Manhattan, distancia taxicab o norma de suma absoluta. Suma cuánto avanzamos por cada eje, como un taxi que debe recorrer calles en forma de cuadrícula.
  • Norma L2L_2, también llamada norma euclidiana, distancia en línea recta o, informalmente, longitud del vector. Es el camino directo entre el origen y la punta.

Para v=(3,4)\mathbf{v}=(3,4), ambas cuentan recorridos distintos:

∥v∥1=∣3∣+∣4∣=7,∥v∥2=32+42=5.\lVert\mathbf{v}\rVert_1=|3|+|4|=7, \qquad \lVert\mathbf{v}\rVert_2=\sqrt{3^2+4^2}=5.

Visualmente, L1L_1 recorre tres unidades horizontales y cuatro verticales; L2L_2 toma la diagonal. No existe una norma “correcta” para todo: cada una responde a una idea distinta de distancia.

En general,

∥v∥1=∑i∣vi∣,∥v∥2=∑ivi2.\lVert\mathbf{v}\rVert_1=\sum_i |v_i|, \qquad \lVert\mathbf{v}\rVert_2=\sqrt{\sum_i v_i^2}.

Otra variante útil es la norma L∞L_\infty, también llamada norma máximo o norma de Chebyshev:

∥v∥∞=max⁡i∣vi∣.\lVert\mathbf{v}\rVert_\infty=\max_i |v_i|.

Para (3,4)(3,4) vale 44: solo importa el desplazamiento más grande. En un tablero de ajedrez representa cuántos turnos necesita un rey para llegar si puede moverse también en diagonal.

En IA, L1L_1 favorece soluciones con muchos valores exactamente en cero y aparece en la regularización Lasso. L2L_2 penaliza con suavidad los valores grandes y aparece en Ridge o weight decay. Aunque se diga “regularización L1/L2”, lo que se añade a la función de pérdida suele ser la norma o su cuadrado, según el método.

La dirección puede aislarse normalizando el vector. Para cualquier v≠0\mathbf{v}\neq\mathbf{0}, su vector unitario es

v^=v∥v∥.\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}.

Si v=(3,4)\mathbf{v}=(3,4), entonces v^=(3/5,4/5)\hat{\mathbf{v}}=(3/5,4/5). Tiene la misma dirección, pero norma uno. El vector cero no tiene una dirección definida y no se puede normalizar.

En 2D también podemos describir la dirección mediante el ángulo

θ=atan2⁡(v2,v1),\theta=\operatorname{atan2}(v_2,v_1),

donde atan2 identifica correctamente el cuadrante.

Producto punto

El producto punto se entiende mejor como un medidor de alineación. En la visualización siguiente, u\mathbf{u} permanece fijo y puedes arrastrar v\mathbf{v}:

Prueba colocando v en la misma dirección de u, formando una esquina de 90° y apuntando hacia el lado contrario. El color y el producto punto cambian con la alineación.

Lo importante no es memorizar primero una suma de productos. Observa los tres casos: misma dirección produce un valor positivo; una esquina recta produce cero; direcciones opuestas producen un valor negativo. La fórmula solamente convierte esa observación geométrica en un número.

El producto punto, o producto escalar, toma dos vectores y produce un número:

u⋅v=∑iuivi.\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =\sum_i u_i v_i.

Para u=(1,2)\mathbf{u}=(1,2) y v=(3,4)\mathbf{v}=(3,4),

u⋅v=1(3)+2(4)=11.\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1(3)+2(4)=11.

Su interpretación geométrica es

u⋅v=∥u∥ ∥v∥cos⁡θ.\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =\lVert\mathbf{u}\rVert\,\lVert\mathbf{v}\rVert\cos\theta.

Por eso el producto punto mide cuánto apunta un vector en la dirección del otro:

  • Si es positivo, el ángulo es menor que 90∘90^\circ.
  • Si es cero, los vectores son perpendiculares.
  • Si es negativo, apuntan en sentidos parcialmente opuestos.

También permite proyectar v\mathbf{v} sobre u\mathbf{u}:

proj⁡u(v)=v⋅uu⋅uu.\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) =\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\mathbf{u}.

En IA, muchas neuronas calculan esencialmente un producto punto entre una entrada x\mathbf{x} y unos pesos w\mathbf{w}, seguido de un sesgo y una función de activación:

z=w⋅x+b.z=\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+b.

También se usa para comparar representaciones o embeddings. Una comparación común es la similitud coseno:

sim⁡(u,v)=u⋅v∥u∥∥v∥.\operatorname{sim}(\mathbf{u},\mathbf{v}) =\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}} {\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert}.

Ángulo entre vectores

El arco dibujado en el comparador anterior es el ángulo más pequeño necesario para girar u\mathbf{u} hasta v\mathbf{v}. Las longitudes pueden cambiar sin alterar ese ángulo: al comparar direcciones, la similitud coseno elimina el tamaño de ambos vectores.

Despejando la identidad anterior obtenemos

θ=arccos⁡(u⋅v∥u∥∥v∥).\theta=\arccos\left( \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}} {\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert} \right).

Tomemos u=(1,0)\mathbf{u}=(1,0) y v=(1,1)\mathbf{v}=(1,1). Como

u⋅v=1,∥u∥=1,∥v∥=2,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1, \quad \lVert\mathbf{u}\rVert=1, \quad \lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{2},

entonces cos⁡θ=1/2\cos\theta=1/\sqrt{2} y θ=45∘\theta=45^\circ.

La fórmula requiere que ambos vectores sean distintos de cero. En cómputo numérico también conviene limitar el cociente al intervalo [−1,1][-1,1] antes de aplicar arccos, porque los errores de redondeo pueden producir valores como 1.00000000011.0000000001.

Ortogonalidad

Busca en el comparador la línea marcada como 90∘90^\circ. Cuando v\mathbf{v} cae sobre ella, ninguno de los dos vectores avanza en la dirección del otro: su proyección es cero. Esa ausencia de componente compartida es lo que llamamos ortogonalidad.

Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero:

u⊥v  ⟺  u⋅v=0.\mathbf{u}\perp\mathbf{v} \iff \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.

Por ejemplo,

(2,1)⋅(−1,2)=−2+2=0.(2,1)\cdot(-1,2)=-2+2=0.

En 2D y 3D euclidianos, ortogonal significa perpendicular. La palabra es más general y también funciona en espacios de muchas dimensiones, donde ya no podemos dibujar los vectores.

En IA, representaciones ortogonales no comparten componente en la métrica elegida. En física, descomponer una fuerza en componentes ortogonales permite analizar de forma independiente sus efectos horizontal y vertical.

Producto cruz: solo para cultura general

Aquí necesitamos salir del plano. Imagina dos varillas, u\mathbf{u} y v\mathbf{v}, apoyadas sobre una mesa: el producto cruz apunta como una flecha que atraviesa la mesa. Si intercambiamos el orden de las varillas, la flecha atraviesa la mesa hacia el lado contrario. Su longitud representa el área que abarcan ambas varillas.

Arrastra para girar la escena. El área verde es el paralelogramo formado por u y v; la flecha perpendicular es u × v. Intercambiar el orden invierte su sentido.

El producto cruz usual se define para vectores de R3\mathbb{R}^3 y devuelve otro vector:

u×v=(u2v3−u3v2u3v1−u1v3u1v2−u2v1).\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}.

Por ejemplo,

(1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1).(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1).

El resultado es perpendicular a ambos vectores y su sentido se determina con la regla de la mano derecha. Su magnitud es

∥u×v∥=∥u∥∥v∥sin⁡θ,\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert =\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\sin\theta,

que corresponde al área del paralelogramo formado por u\mathbf{u} y v\mathbf{v}.

En física aparece en el torque τ=r×F\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} y en la fuerza magnética F=q v×B\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}. A diferencia del producto punto, no es conmutativo: u×v=−(v×u)\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).

Combinación lineal

La siguiente mesa de trabajo reúne combinación lineal, base e independencia. Los vectores verdes son las piezas disponibles; los controles indican cuántas copias —positivas o negativas— tomamos de cada una. La flecha clara es el resultado.

Mueve a y b. Luego activa los vectores dependientes: verás que el resultado queda atrapado en una sola línea y ya no puede recorrer todo el plano.

Esta experiencia contiene la idea completa: una combinación lineal es una receta; los coeficientes dicen cuánto usar de cada ingrediente y el vector resultante muestra adónde llegamos.

Una combinación lineal de v1,…,vk\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k es cualquier vector de la forma

c1v1+c2v2+⋯+ckvk,c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k,

donde c1,…,ckc_1,\ldots,c_k son escalares.

Con e1=(1,0)\mathbf{e}_1=(1,0) y e2=(0,1)\mathbf{e}_2=(0,1) podemos construir cualquier vector de R2\mathbb{R}^2:

(3,−2)=3e1−2e2.(3,-2)=3\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_2.

El conjunto de todas las combinaciones lineales se llama espacio generado o span. Un solo vector no nulo genera una línea; dos vectores no paralelos en R2\mathbb{R}^2 generan todo el plano; tres vectores no coplanares en R3\mathbb{R}^3 generan todo el espacio.

En IA, una capa lineal combina las características de entrada mediante pesos aprendidos. En física, una fuerza puede descomponerse como combinación de vectores elegidos para los ejes del problema.

Independencia lineal

En el laboratorio, pulsa Usar vectores dependientes. Las dos flechas verdes quedan sobre la misma línea. Aunque parezca que tenemos dos controles, ambos mueven el resultado en una sola dirección: el segundo vector no aporta una posibilidad nueva. Al volver a los vectores independientes recuperamos dos direcciones y podemos alcanzar cualquier punto del plano.

Los vectores v1,…,vk\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k son linealmente independientes si

c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}

solo tiene la solución trivial c1=⋯=ck=0c_1=\cdots=c_k=0.

En otras palabras, ninguno de ellos puede construirse combinando los demás. En R2\mathbb{R}^2, (1,0)(1,0) y (0,1)(0,1) son independientes, mientras que (1,2)(1,2) y (2,4)(2,4) no lo son porque el segundo es dos veces el primero.

En R3\mathbb{R}^3, los vectores

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(0,0,1)

son independientes. Geométricamente, los dos primeros generan un plano y el tercero aporta una dirección que queda fuera de él.

La independencia importa en datos: características redundantes pueden introducir dependencia o casi dependencia lineal. Esto afecta algunos cálculos y puede hacer más difícil interpretar un modelo.

Base

Una base puede verse como un juego mínimo de controles para moverse por todo el espacio. En 2D hacen falta dos direcciones independientes; en 3D hacen falta tres. Si sobra un control, existe redundancia. Si falta uno, habrá lugares imposibles de alcanzar.

Arrastra para observar el espacio. La cuadrícula se deforma al usar una base oblicua; con una base ortogonal rotada cambia la orientación, pero se conservan los ángulos rectos y las longitudes.

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple dos condiciones:

  1. Es linealmente independiente.
  2. Genera todo el espacio.

La base canónica de R2\mathbb{R}^2 es

e1=(1,0),e2=(0,1),\mathbf{e}_1=(1,0),\qquad \mathbf{e}_2=(0,1),

y la de R3\mathbb{R}^3 es

e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1).\mathbf{e}_1=(1,0,0),\quad \mathbf{e}_2=(0,1,0),\quad \mathbf{e}_3=(0,0,1).

Pero una base no tiene que coincidir con los ejes usuales. Por ejemplo, (1,1)(1,1) y (1,−1)(1,-1) también forman una base de R2\mathbb{R}^2. En ella,

(3,1)=2(1,1)+1(1,−1).(3,1)=2(1,1)+1(1,-1).

Las coordenadas (3,1)(3,1) y (2,1)(2,1) describen el mismo vector usando bases distintas. Esto es parecido a describir el mismo lugar con dos sistemas de coordenadas.

La cantidad de vectores de cualquier base es la dimensión del espacio. Por eso toda base de R2\mathbb{R}^2 tiene dos vectores y toda base de R3\mathbb{R}^3 tiene tres.

Base ortonormal

Una base cualquiera puede estar inclinada y sus ejes no tienen por qué medir lo mismo. Una base ortonormal es una cuadrícula especialmente cómoda: sus direcciones forman esquinas rectas y cada paso tiene longitud uno. Por eso leer y reconstruir coordenadas resulta mucho más sencillo.

Una base es ortonormal si sus vectores son mutuamente ortogonales y cada uno tiene norma uno:

qi⋅qj={1,i=j,0,i≠j.\mathbf{q}_i\cdot\mathbf{q}_j= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\neq j. \end{cases}

La base canónica es ortonormal. También lo es la base rotada

q1=12(1,1),q2=12(1,−1).\mathbf{q}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1), \qquad \mathbf{q}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1).

Su ventaja es que las coordenadas se calculan directamente con productos punto. Si {q1,…,qn}\{\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_n\} es una base ortonormal, entonces

v=∑i(v⋅qi)qi.\mathbf{v}=\sum_i(\mathbf{v}\cdot\mathbf{q}_i)\mathbf{q}_i.

Las bases ortonormales preservan longitudes y ángulos al cambiar coordenadas. Son fundamentales en métodos como QR, PCA, Fourier y muchas transformaciones usadas en ciencia de datos y procesamiento de señales.

Matemáticas, IA y física: la misma estructura, distinta lectura

En matemáticas

Un vector no necesita ser una flecha ni una lista de tres números. Puede ser una secuencia con miles de componentes, una matriz, una función o incluso un polinomio, siempre que el conjunto y sus operaciones cumplan los axiomas de un espacio vectorial. R2\mathbb{R}^2 y R3\mathbb{R}^3 son los ejemplos que podemos visualizar.

En inteligencia artificial

La IA usa directamente esta matemática. Una imagen puede convertirse en un vector de intensidades; una palabra, en un embedding; los parámetros de una red, en un vector enorme. Distancias, productos punto, proyecciones y combinaciones lineales permiten comparar, transformar y aprender esas representaciones.

No obstante, que dos datos estén representados por vectores no garantiza que la distancia o el ángulo tengan sentido: eso depende de cómo se construyó la representación y de la métrica escogida.

En física

Los vectores físicos usan el mismo álgebra, pero incluyen información adicional:

  • Unidades: no tiene sentido sumar una fuerza con una velocidad.
  • Interpretación: posición, velocidad, aceleración y fuerza representan cantidades diferentes.
  • Sistema de referencia: las componentes cambian si rotamos los ejes, aunque el vector físico no cambie.
  • Tipo de transformación: algunas cantidades, como el torque y el campo magnético, son axialmente distintas de vectores polares como la posición; esa diferencia se nota ante reflexiones.

Por eso no son vectores matemáticamente diferentes: son vectores matemáticos que modelan cantidades físicas y deben respetar las leyes y unidades del problema.