Matrices: máquinas que mueven vectores

Después de los vectores vienen las matrices. A primera vista suelen presentarse como tablas rectangulares llenas de números. En este artículo seguiremos siempre el mismo vector,

\mathbf v=(2,1),

y las mismas cinco transformaciones del laboratorio. Así podremos concentrarnos en lo que cambia sin comenzar un ejemplo nuevo en cada sección.

Una matriz es una transformación. Una matriz mueve vectores.

Los números indican qué movimiento realiza. Puede rotar, estirar, reflejar, inclinar o incluso aplastar todo un espacio. Cuando entendemos ese movimiento, las operaciones dejan de parecer reglas arbitrarias.

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Qué representa una matriz

Abajo hay una cuadrícula completa y un vector. Selecciona una transformación y observa que la matriz no mueve únicamente la flecha: mueve cada punto del plano al mismo tiempo.

La cuadrícula tenue es el plano original; la cuadrícula verde es el plano transformado. Observa qué ocurre con el cuadrado de área uno y con el vector v.

La flecha blanca comienza siempre en $\mathbf v=(2,1)$ . Veamos, una por una, las matrices de los botones.

1. Identidad: dejar todo en su lugar

I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad I\mathbf v=(2,1).

La primera columna $(1,0)$ deja intacto el eje horizontal y la segunda $(0,1)$ deja intacto el vertical. Por eso no cambia la cuadrícula, el cuadrado ni la flecha.

2. Escala: ensanchar y comprimir

S=\begin{pmatrix}1.7&0\\0&0.65\end{pmatrix}, \qquad S\mathbf v=(3.4,0.65).

El $1.7$ estira horizontalmente: cada unidad en $x$ se convierte en $1.7$ . El $0.65$ comprime verticalmente: cada unidad en $y$ se convierte en $0.65$ . Los ceros evitan que una dirección se mezcle con la otra.

3. Rotación: girar $45^\circ$

R=\begin{pmatrix} \cos45^\circ&-\sin45^\circ\\ \sin45^\circ&\cos45^\circ \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.71&-0.71\\0.71&0.71\end{pmatrix}.

La flecha pasa aproximadamente de $(2,1)$ a $(0.71,2.12)$ . Toda la cuadrícula gira junta: los cuadrados siguen siendo cuadrados, los ángulos rectos siguen midiendo $90^\circ$ y las longitudes no cambian.

4. Inclinación: deslizar una fila sobre otra

Llamaremos $A$ a la matriz de inclinación porque será nuestro ejemplo principal en las secciones siguientes:

A=\begin{pmatrix}1&0.8\\0&1\end{pmatrix}, \qquad A\mathbf v=(2.8,1).

La coordenada vertical permanece igual. La nueva coordenada horizontal recibe, además, $0.8$ veces la altura:

x'=x+0.8y,\qquad y'=y.

Por eso las líneas horizontales se deslizan más cuanto mayor es su altura. El cuadrado se convierte en un paralelogramo, pero no cambia de área.

5. Matriz singular: aplastar el plano

C=\begin{pmatrix}1&0.65\\0&0\end{pmatrix}, \qquad C\mathbf v=(2.65,0).

La segunda fila es completamente cero, así que toda salida cumple $y'=0$ . No importa a qué altura empezara un punto: termina sobre el eje horizontal. El plano pierde una dimensión y se vuelve una línea.

Una matriz $2\times2$ queda determinada por lo que hace con los dos vectores de la base canónica:

\mathbf e_1=(1,0),\qquad \mathbf e_2=(0,1).

Las columnas de la matriz son los lugares a los que llegan esas dos flechas:

A= \begin{pmatrix} \vert&\vert\\ A\mathbf e_1&A\mathbf e_2\\ \vert&\vert \end{pmatrix}.

En nuestro ejemplo principal,

A=\begin{pmatrix}1&0.8\\0&1\end{pmatrix},

la primera columna indica que $\mathbf e_1$ termina en $(1,0)$ y la segunda que $\mathbf e_2$ termina en $(0.8,1)$ . Esas son exactamente las dos orillas verdes del paralelogramo mostrado al pulsar Inclinar.

Una transformación matricial es lineal: conserva el origen y respeta sumas y escalas,

A(\mathbf u+\mathbf v)=A\mathbf u+A\mathbf v, \qquad A(c\mathbf v)=cA\mathbf v.

Esto impide que una matriz por sí sola curve la cuadrícula o traslade el origen. Para incluir traslaciones se usan coordenadas homogéneas, muy comunes en gráficos 3D.

Multiplicar una matriz por un vector

Para mover un vector $(x,y)$ usamos

A\mathbf v= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}.

En lugar de cambiar de ejemplo, multipliquemos $A$ por la misma flecha $\mathbf v=(2,1)$ del laboratorio:

A\mathbf v= \begin{pmatrix}1&0.8\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1(2)+0.8(1)\\0(2)+1(1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2.8\\1\end{pmatrix}.

Visualmente, $\mathbf v=2\mathbf e_1+1\mathbf e_2$ , así que

A\mathbf v=2(A\mathbf e_1)+1(A\mathbf e_2) =2(1,0)+(0.8,1)=(2.8,1).

La matriz mueve primero las direcciones básicas y después reconstruye el vector usando las mismas coordenadas. Multiplicar filas por columnas es el mecanismo de cálculo; transformar y recombinar vectores es la idea.

Multiplicación de matrices: encadenar movimientos

Cuando multiplicamos matrices estamos componiendo transformaciones. Conservamos la inclinación $A$ y usamos como $B$ una rotación de $90^\circ$ :

A=\begin{pmatrix}1&0.8\\0&1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Si primero inclinamos y después rotamos,

BA\mathbf v=B(A\mathbf v).

La matriz que está más cerca del vector actúa primero. En $BA$ , la flecha sigue este recorrido:

(2,1)\xrightarrow{A}(2.8,1)\xrightarrow{B}(-1,2.8).

Sigue el vector desde su posición original, pasando por la primera transformación, hasta el resultado. Cambiar el orden normalmente cambia el destino: en general, AB ≠ BA.

Al cambiar el orden vemos otro recorrido:

(2,1)\xrightarrow{B}(-1,2)\xrightarrow{A}(0.6,2).

La gráfica termina en $(-1,2.8)$ para $BA$ y en $(0.6,2)$ para $AB$ . Esta diferencia visible es la razón por la que la multiplicación de matrices no suele ser conmutativa.

Matriz identidad

La matriz identidad es la transformación que no cambia nada:

I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad I\mathbf v=\mathbf v.

En el laboratorio, pulsa Identidad. La cuadrícula transformada coincide completamente con la original. La identidad desempeña para las matrices un papel parecido al número $1$ en la multiplicación:

AI=IA=A.

Matriz inversa

La inversa deshace una transformación. Si $A$ mueve $\mathbf v$ , entonces $A^{-1}$ lo devuelve:

A^{-1}(A\mathbf v)=\mathbf v, \qquad A^{-1}A=I.

Selecciona Inclinar y luego pulsa Aplicar inversa. Para nuestra matriz $A$ , la inversa es

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-0.8\\0&1\end{pmatrix}.

$A$ había llevado $(2,1)$ a $(2.8,1)$ . La inversa resta el desplazamiento horizontal y lo devuelve:

A^{-1}(2.8,1)=(2,1).

La animación hace ese mismo recorrido de regreso hasta la cuadrícula original.

Para una matriz $2\times2$ ,

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},

siempre que $ad-bc\neq0$ . Si una transformación aplasta el plano sobre una línea, distintos puntos terminan en el mismo lugar. Ya no existe información suficiente para reconstruir el plano original y, por tanto, no hay inversa.

Transpuesta

Sigamos con la misma matriz de inclinación. Su transpuesta intercambia filas y columnas:

A=\begin{pmatrix}1&0.8\\0&1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^T=\begin{pmatrix}1&0\\0.8&1\end{pmatrix}.

$A$ inclinaba horizontalmente: $x'=x+0.8y$ . Su transpuesta inclina verticalmente: $y'=0.8x+y$ . Sobre nuestra flecha,

A^T(2,1)=(2,2.6).

La transpuesta no suele ser la inversa: $A^T$ no deshace la inclinación de $A$ , sino que reorganiza cómo se relacionan las direcciones. Esa reorganización permite pasar una transformación de un lado al otro de un producto punto:

(A\mathbf x)\cdot\mathbf y =\mathbf x\cdot(A^T\mathbf y).

Esta identidad dice que podemos mover $\mathbf x$ con $A$ , o mover la regla con la que lo medimos usando $A^T$ . El resultado escalar es el mismo.

Cuando $A^T=A$ , la matriz es simétrica. Cuando $Q^TQ=I$ , sus columnas forman una base ortonormal y $Q^{-1}=Q^T$ : para deshacer una rotación basta transponerla.

Determinante

El determinante mide cómo cambia el área —o el volumen en 3D— durante la transformación. El cuadrado amarillo del laboratorio comienza con área uno. Con las mismas matrices de los botones:

Identidad: $\det I=1$ . El área no cambia.
Escala: $\det S=1.7(0.65)=1.105$ . El rectángulo tiene $1.105$ veces el área original.
Rotación: $\det R=1$ . Gira el cuadrado sin cambiar su área.
Inclinación: $\det A=1$ . Convierte el cuadrado en paralelogramo conservando su área.
Aplastamiento: $\det C=0$ . El cuadrado se vuelve una línea y su área desaparece.

Estos ejemplos permiten leer el significado general:

$|\det A|>1$ : el área crece.
$0<|\det A|<1$ : el área se reduce.
$\det A<0$ : además hay una reflexión; cambia la orientación.
$\det A=0$ : el área se aplasta por completo y la matriz no tiene inversa.

Para

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},

el determinante es

\det A=ad-bc.

La fórmula calcula el área orientada del paralelogramo formado por las columnas. En 3D, el determinante de una matriz $3\times3$ mide el volumen orientado del paralelepípedo formado por sus tres columnas.

Rango

El rango cuenta cuántas direcciones independientes sobreviven después de transformar el espacio.

En una matriz $2\times2$ hay tres posibilidades visuales:

Rango 2: el plano sigue siendo un plano, aunque esté rotado o deformado.
Rango 1: todo el plano queda aplastado sobre una línea.
Rango 0: todos los vectores terminan en el origen.

En el laboratorio, $I$ , $S$ , $R$ y $A$ tienen rango 2: conservan dos direcciones independientes y la cuadrícula sigue ocupando un plano. Al pulsar Aplastar, $C$ tiene rango 1: sus columnas $(1,0)$ y $(0.65,0)$ apuntan sobre la misma línea. La cuadrícula colapsa, el determinante se vuelve cero y desaparece la posibilidad de invertir el movimiento.

En IA, el rango indica cuánta información independiente puede conservar una transformación. Una capa lineal puede cambiar la representación de los datos, pero no crear más direcciones independientes que las permitidas por su rango. Las aproximaciones de bajo rango aprovechan esta idea para comprimir modelos y datos.

Matemáticas, IA y física

En matemáticas, una matriz representa una función lineal después de elegir bases. La misma transformación puede verse con matrices diferentes si cambiamos el sistema de coordenadas.

En IA, las matrices contienen pesos aprendidos. Una capa lineal calcula

\mathbf y=W\mathbf x+\mathbf b.

$W$ transforma el vector y $\mathbf b$ desplaza el resultado. Redes enormes repiten y combinan esta operación con transformaciones no lineales.

En física, las matrices cambian sistemas de referencia, describen rotaciones, relacionan esfuerzos y deformaciones o representan tensores. Las unidades y el significado físico siguen importando: una matriz puede transformar componentes, pero no vuelve compatibles cantidades físicas diferentes.

La tabla de números es necesaria para calcular. La transformación es lo que esos números hacen.